Берут начало именно из основ математического анализа. Теория фракталов в математическом понятии, строится на том, что все явления которые нас окружают, зачастую состоят из своего рода само повторяющихся фигур.
К примеру, береговую линию или лист дерева, можно назвать фрактальными фигурами. В теории математики, фрактал – это безгранично само — подобный , у которой при уменьшении масштаба, повторяется каждый фрагмент.
Если посмотреть на линию какого-либо берега, с борта самолета, можно увидеть линию без единого изгиба, но как только мы начнем снижаться, на береговой линии будет появляться все больше и больше изгибов, другими словами, фигура начнет приобретать более четкие очертания.
Основные особенности теории фракталов
Теория фракталов изучает закономерности образования подобных случайных явлений. Рынок это совершенная фигура, которая состоит из различных размерностей. В связи с этим, нахождение важных точек графика, можно выполнять при помощи методов, в основе которых лежит фрактальный анализ.
Наиболее доступно для , тезисы теории фракталов изложил знаменитый трейдер своего времени Бил Гильмс.
Именно он установил фрактал в виде пятибарных минимумов и максимумов на графике. Основная идея данной гипотезы в том, что ценовой уровень в течение 5 отдельно взятых временных интервалов не должен подниматься выше, или опускаться ниже, чем максимум заданного времени, (к примеру, минуты, часа или дня).
Рекомендуем: Фракталы используемые специалистами в трейдинге:
Не столь важно какие это будут графики, но все же на практике, в сфере российского рынка, наибольшую эффективность дают . Во многих случаях уровни минимумов и максимумов образуют линии поддержки и сопротивления. И после того как цена проходит эти уровни, она обычно продолжает движение в том же направлении некоторое время.
Преимущественно на трендовом рынке, при прохождении указанных выше уровней, (пусть то будет ) продажа или покупка, часто дает трейдеру получать хороший доход.
Но если на рынке наступает затишье, весь доход инвестора может перекрыть комиссия, а для того чтобы этого не произошло, есть смысл ввести дополнительные , в Вашу торговую стратегию.
Зачастую гениальные открытия, совершенные в науке, способны кардинально изменять нашу жизнь. Так, например, изобретение вакцины может спасти множество людей, а создание нового вооружения приводит к убийству. Буквально вчера (в масштабе истории) человек «укротил» электричество, а сегодня уже не может представить свою жизнь без него. Однако существуют и такие открытия, которые, что называется, остаются в тени, причем несмотря на то, что они также оказывают то или иное влияние на нашу жизнь. Одним из таких открытий стал фрактал. Большинство людей даже не слышали о таком понятии и не смогут объяснить его значение. В этой статье мы попробуем разобраться с вопросом о том, что такое фрактал, рассмотрим значение этого термина с позиции науки и природы.
Порядок в хаосе
Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.
Немного сухих фактов
Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.
Историческая справка, или Как все начиналось
На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора - «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид - С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.
Динамические, или алгебраические фракталы
К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.
Человек с пространственным воображением
Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени.
Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, отличающийся богатым и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.
Жюлиа - Мандельброт
Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».
Л. Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал - это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.
Решение Карпентера
Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные на мелкие элементы, а те - на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.
Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме
Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте - анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма "Star Trek". Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.
Том Беддард
В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.
Фракталы в природе
Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина - они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.
Музыкальная пауза
Оказывается, фракталы - это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.
Индикатор-фрактал
Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.
В заключение
Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.
Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту.
Бертранд Рассел .
Вы, конечно же, слышали о фракталах. Вы, конечно же, видели эти захватывающие картинки из Bryce3d более реальные, чем сама реальность. Горы, облака, кора дерева - все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы? Когда они появились?
История появления.
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).
Отец фракталов
Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.
Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).
Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
Немного о размерностях.
В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги (250 м), узнаем площадь квартиры (78 м2) и ищем на наклейке объем бутылки пива (0.33 дм3). Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий - окружность, квадрат, парабола и т.д.
Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный - значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений - углов наподобие ширины и долготы).
Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).
Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).
Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.
Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения "размера" объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3. Может быть немного запутано, но в общем-то несложно и понятно.
Зачем я это все рассказываю? А для того чтобы понять, как отделять фракталы от, скажем, колбасы. Попробуем посчитать размерность для кривой Пеано. Итак, у нас исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 - двумерный объект!!!
Так вот, когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом.
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
Геометрические фракталы.
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рисунке ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).
Снежинка Коха
Лист
Треугольник Серпинского
Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии.
Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619...
Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. Например, описание снежинки Коха с помощью L-Systems в программе Fractint
; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot Koch1 { ;устанавливаем угол поворота 360/6=60 градусов Angle 6 ; Начальный рисунок для построения Axiom F--F--F ; Правило преобразования символов F=F+F--F+F }В данном описании геометрические значения символов следующие:
F обозначает прочертить отрезок + поворот по часовой стрелке - поворот против часовой стрелки
Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.
Сразу оговорюсь, что большинство рисунков фракталов в данной статье получены с помощью программы Fractint. Если Вас заинтересовали фракталы, то это программа must have для Вас. С ее помощью можно строить сотни различных фракталов, получить исчерпывающую информацию по ним, и даже послушать как фракталы звучат;).
Сказать, что программа хороша - значит ничего не сказать. Она великолепна, за исключением одного но - последняя версия 20.0 доступна только в варианте для DOS:(. Вы сможете найти эту программу (последняя версия 20.0) на http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .
Оставить комментарий
Комментарии
Ну и на закуску интересный пример Microsoft Excel В ячейки A2 и B2 одинаковые значения между 0 и 1. при значении 0,5 нет эффекта.
Всем сумевшим сделать прогу по картинке фратала привет. Кто может мне сказать какой метот цикла мне лучше использовать чтобы построить поляночку фрактальчиков папортника с подложкой из 3d max при количестdt iteration 100 000 на камне с 2800 mH
Есть исходник с программой отрисовки кривой Дракона, тоже фрактал.
Статья офигенная. А эксель - это наверно ошибка сопроцессора (на последних младших разрядах)
Хаос - это порядок, который нужно расшифровать.
Жозе Сарамаго, «Двойник»
«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса... теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» . Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.
Новое - это хорошо забытое старое
Позволю себе еще одну цитату из Глейка:
Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу... По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» - призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.
Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии - неотъемлемой ступени развития любого общества - состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.
Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» .
А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще более мелкие круги - дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией .
Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.
Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:
Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что... наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности.
У истоков теории хаоса
Что мы понимаем под хаосом ? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.
Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.
Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем .
Прогнозирование погоды - одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана - оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» . Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).
Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» . Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.
В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» - пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.
«Подкова» (рис. 2) - точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова» . Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» .
В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.
Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции - величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.
Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях ). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» . Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.
Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, - она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число - инвариант, полученный Фейгенбаумом, - позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора - в двух, четырех, восьми точках... Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.
Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.
В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, - подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов - под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков - изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» .
К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал...
Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.
Фрактальная геометрия природы
Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.
Слово фрактал происходит от латинского fractus - дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.
Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» . «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» - говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль , творог , сыворотка , наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.
Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.
Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.
Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее - конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту . Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост: х n+1 → f х n C . Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения \(x_0 \), то результатом его будет последовательность \(x_1 \), \(x_2 \), ..., которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению \(X \), стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо . Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.
Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа - это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования: х n → х n−1 2 + C , динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение \(x \) получается из предыдущего; комплексное число \(C \) называется управляющим параметром . Поведение последовательности чисел зависит от параметра \(C \) и начальной точки \(x_0 \). Если зафиксировать \(C \) и изменять \(x_0 \) в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать \(x_0 \) = 0 и изменять \(C \), получим множество Мандельброта (\(M \)). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе \(C \). Каждое комплексное число \(C \) либо принадлежит области \(M \) (черной на рис. 3), либо нет. \(C \) принадлежит \(M \) тогда и только тогда, когда «критическая точка» \(x_0 \) = 0 не стремится к бесконечности. Множество \(M \) состоит из всех точек \(C \), которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка \(C \) лежит вне множества \(M \), ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества \(M \) определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа х n → х n−1 2 + C . Когда параметр \(C \) покидает \(M \), множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе \(M \), влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки \(x_0 \) = 0». Те значения \(C \) (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом \(N \), заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе \(M \) необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.
Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.
Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна... бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!
Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно - заполнения им пространства.
Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки - 0, линии - 1, плоскости - 2, объемного тела - 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости - 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение .
Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа - Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.
Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.
Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.
Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы . В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов - порождения хаоса - невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» - фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:
«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала... Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится - в результате створаживания - чрезвычайно концентрированной.
Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.
В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне - применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, - дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты - стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники .
Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.
Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. <...> Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.
В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer . А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.
Post Scriptum
С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» - не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.
Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.
. Юргенс Х., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки. 1990. № 10. С. 36–44.. Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов. Т. 1: Порядок и хаос в литосфере и других сферах. М., 1994; Т. 2: Циклическая динамика в природе и обществе. М., 1998; Т. 3: Природные и социальные сферы как части окружающей среды и как объекты воздействий. М., 2002; Т. 4: Человек и три окружающие его среды. М., 2009. Т. 5: Человек и три окружающие его среды. М., 2013.
Как был открыт фрактал
Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Большую часть жизни он преподавал математику в Йельском университете США. В 1977 - 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися, - что и доказывало наличие некого образца для копирования. Открытие Мандельброта возымело весомые последствия в развитии физики, астрономии и биологии.
Фракталы в природе
В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).
Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.
Фракталы в цифровой технике
Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.
В математической основе фрактальной графики лежит фрактальная геометрия, где в основу методов построения «изображений-наследников» помещён принцип наследования от исходных «объектов-родителей». Сами понятия фрактальной геометрии и фрактальной графики появилось всего около 30 лет назад, но уже прочно вошли в обиход компьютерных дизайнеров и математиков.
Базовыми понятиями фрактальной компьютерной графики являются:
- Фрактальный треугольник - фрактальная фигура - фрактальный объект (иерархия в порядке убывания)
- Фрактальная прямая
- Фрактальная композиция
- «Объект-родитель» и «Объект наследник»
Также как в векторной и трёхмерной графике, создание фрактальных изображений математически вычисляемо. Главное отличие от первых двух видов графики в том, что фрактальное изображение строится по уравнению или системе уравнений, - ничего кроме формулы в памяти компьютера для выполнения всех вычислений хранить не нужно, - и такая компактность математического аппарата позволила использование этой идеи в компьютерной графике. Просто изменяя коэффициенты уравнения, можно с лёгкостью получить совершенно иное фрактальное изображение - при помощи нескольких математических коэффициентов задаются поверхности и линии очень сложной формы, что позволяет реализовать такие приёмы композиции, как горизонтали и вертикали, симметрию и асимметрию, диагональные направления и многое другое.
Как построить фрактал?
Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно. Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?
- задать форму рисунка математической формулой
- исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
- выбрать вид изображения
- выбрать палитру цветов
Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:
- «Art Dabbler»
- «Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
- «Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)
Рассмотрим устройство произвольной фрактальной геометрической фигуры. В её центре находится простейший элемент - равносторонний треугольник, получивший одноимённое название: «фрактальный». На среднем отрезке сторон построим равносторонние треугольники со стороной, равной одной трети от стороны исходного фрактального треугольника. По тому же принципу строятся ещё более мелкие треугольники-наследники второго поколения - и так до бесконечности. Объект, который в результате получился, называется «фрактальной фигурой», из последовательностей которой получаем «фрактальную композицию».
Источник: http://www.iknowit.ru/
Фракталы и древние мандалы
В принципе, мандала — это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель Вселенной, «карта космоса». Вот и первый признак фрактальности!
Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Яркий и завораживающий вид, делает её красивым украшением полов, стен и потолков храмов в Индии. На древнем индийском языке «мандала» обозначает мистический круг взаимосвязи духовных и материальных энергий Вселенной или по-другому цветок жизни.
Мне хотелось написать обзор о фрактальных мандалах совсем небольшим, с минимумом абзацев, показав, что взаимосвязь явно существует. Однако, пытаясь найти осознать и связать информацию о фракталах и мандалах в единое целое, у меня было ощущение квантового скачка в неизвестное мне пространство.
Демонстрирую необъятность этой темы цитатой: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая.
Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.
Фрактальные морские животные
Мои догадки о фрактальных морских животных были не беспочвенны. Вот и первые представители. Осьминог - морское придонное животное из отряда головоногих.
Взглянув на эту фотографию, мне стало очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000.
Интересен то факт, что у осьминога три сердца: одно (главное) гонит голубую кровь по всему телу, а два других — жаберных — проталкивают кровь через жабры. Некоторые виды этих глубоководных фракталов ядовиты.
Приспосабливаясь и маскируясь под окружающую среду, осьминог обладает весьма полезной способностью изменять окраску.
Осьминогов считают самыми «умными» среди всех беспозвоночных. Узнают людей, привыкают к тем, кто их кормит. Интересно было бы посмотреть на осьминогов, которые легко поддаются дрессировке, имеют хорошую память и даже различают геометрические фигуры. Но век этих фрактальных животных недолог - максимум 4 года.
Человек использует чернила этого живого фрактала и других головоногих. Они пользуются спросом у художников за их стойкость и красивый коричневый тон. В средиземноморской кухне осьминог является источником витаминов B3, B12, калия, фосфора и селена. Но я думаю, что этих морских фракталов нужно уметь готовить, чтобы получать удовольствие от их употребления в виде пищи.
Кстати, нужно заметить, что осьминоги - хищники. Своими фрактальными щупальцами они удерживают жертву в виде моллюсков, ракообразных и рыбы. Жаль, если пищей этих морских фракталов становится вот такой красивый моллюск. По-моему, тоже типичный представитель фракталов морского царства.
Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк, он же Глаукус, он же Glaucus atlanticus, он же Glaucilla marginata. Это фрактал еще и необычен тем, что живет и передвигается под поверхностью воды, удерживаясь за счет поверхностного натяжения. Т.к. моллюск является гермафродитом, то после спаривания оба "партнера" откладывают яйца. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.
Фракталы морского царства
Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину.
Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.
Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.
Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.
В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.
Коралл - это материал скелета колонии коралловых полипов, тоже из семейства беспозвоночных. Их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых очевиден.
Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.
Он также используется человеком в виде сувенира или сырья для ювелирных изделий и украшений. Но повторить красоту и совершенство фрактальной природы очень сложно.
В очередной раз, исполняя ритуал на кухне с ножом и разделочной доской, а потом, опустив нож в холодную воду, я вся в слезах в очередной раз придумывала, как бороться со слезоточивым фракталом, который практически ежедневно появляется на моих глазах.
Принцип фрактальности тот же, что и у знаменитой матрешки - вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. К тому же, светлый однородный окрас и его природная способность вызывать неприятные ощущения не способствуют пристальному наблюдению за мирозданием и выявлению фрактальных математических закономерностей.
А вот салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Но не мешало бы вспомнить, что шар считается идеальной геометрической фигурой в пределах нашей Вселенной.
О полезных свойствах лука в Интернете опубликовано немало статей, но как-то никто не пытался изучать этот природный экземпляр с точки зрения фрактальности. Я могу только констатировать факт полезности применения фрактала в виде лука на своей кухне.
P.S. А овощерезку для измельчения фрактала я уже приобрела. Теперь придется поразмышлять, насколько фрактален такой полезный овощ, как обычная белокачанная капуста. Тот же принцип вложенности.
Фракталы в народном творчестве
Мое внимание привлекла история всемирно известной игрушки «Матрешка». Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал.
Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.
Мои небольшие исследования истории появления этого игрушечного фрактала на мировом рынке показали, что корни у этой красавицы - японские. Матрешка всегда считалась исконно русским сувениром. Но оказалось, что она прототип японской фигурки старика-мудреца Фукурума, привезенного когда-то в Москву из Японии.
Но именно российский игрушечный промысел принес этой японской фигурке мировую славу. Откуда возникла идея фрактальной вложенности игрушки, лично для меня, так и осталось загадкой. Скорей всего автор этой игрушки использовал принцип вложенности фигурок друг в друга. А самый простой способ вложения - это подобные фигурки разных размеров, а это уже - фрактал.
Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись - хохлома. Традиционные элементы хохломы - это травяные узоры из цветов, ягод и веток.
Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.
И если новомодной росписью компьютерных мышек, крышек ноутбуков и телефонов никого уже не удивишь, то фрактальный тюнинг автомобиля в народном стиле - это что-то новое в автодизайне. Остается только удивляться проявлению мира фракталов в нашей жизни таким необычным образом в таких обычных для нас вещах.
Фракталы на кухне
Типичный представитель фрактала из растительного мира красовался на моем кухонном столе.
При всей моей любви к цветной капусте мне все время попадались экземпляры с однородной поверхностью без видимых признаков фрактальности, и даже большое число соцветий, вложенных друг в друга, не давали мне повода увидеть в этом полезном овоще фрактал.
Но поверхность именно этого экземпляра с явно выраженной фрактальной геометрией не оставляла ни малейшего сомнения во фрактальном происхождении этого вида капусты.
Очередной поход в гипермаркет только подтвердил фрактальный статус капусты. Среди огромного числа экзотических овощей красовался целый ящик с фракталами. Это была Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста.
Оказывается, дизайнеры и 3D-художники восторгаются ее экзотическими формами, похожими на фракталы.
Капустные почки нарастают по логарифмической спирали. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии 16-го века.
А капуста броколли совсем не частая гостья в моем рационе, хотя по содержанию полезных веществ и микроэлементов она превосходит цветную капусту в разы. Но ее поверхность и форма настолько однородны, что мне никогда не приходило в голову увидеть в ней овощной фрактал.
Фракталы в квиллинге
Увидев ажурные поделки в технике квиллинг, меня никогда не покидало ощущение, что что-то они мне напоминают. Повторение одних и тех же элементов в разных размерах - конечно же, это принцип фрактальности.
Посмотрев очередной мастер-класс по квилингу, не осталось даже сомнений в фрактальности квиллинга. Ведь для изготовления различных элементов для поделок из квиллинга используется специальная линейка с окружностями разного диаметра. При всей красоте и неповторимости изделий, это - невероятно простая техника.
Почти все основные элементы для поделок в квиллинге делаются из бумаги. Чтобы запастись бумагой для квиллинга бесплатно, проведите дома ревизию своих книжных полок. Наверняка, там вы обнаружите пару-тройку ярких глянцевых журналов.
Инструменты для квиллинга просты и недороги. Все что вам необходимо для выполнения любительских работ в стиле квиллинг, вы можете найти среди своих домашних канцелярских принадлежностей.
А история квиллинга начинается в 18 веке в Европе. В эпоху Ренессанса монахи из французских и итальянских монастырей с помощью квиллинга украшали книжные обложки и даже не подозревали о фрактальности изобретенной ими техники бумагокручения. Девушки из высшего общества даже проходили курс по квиллингу в специальных школах. Вот так эта техника начала распространяться по странам и континентам.
Этот мастер-класс видео квиллинг по изготовлению роскошного оперения можно даже назвать "фракталы своими руками". С помощью фракталов из бумаги получаются чудесный эксклюзивные открытки-валентики и много разных других интересных вещей. Ведь фантазия, как и природа неисчерпаема.
Ни для кого не секрет, что японцы по жизни сильно ограничены в пространстве, в связи с чем, им приходится всячески изощряться в эффективном его использовании. Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне - это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства.
Этот пример использования фракталов в реальной жизни, применительно к дизайну мебели показал мне, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах.
И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия.
Loading...