Линия пересечения двух плоскостей - прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π 1 , f 0 α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π 1 , (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).
Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π 2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).
.
.
Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня
Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.
В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).
.
Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.
Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А 2 В 2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π 2) эти точки представлены проекциями M 2 , N 2 . Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π 1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M 1 N 1 . В пересечении горизонтальных проекций прямых А 1 В 1 и M 1 N 1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К 1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К 2).
.
Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости
Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.
На плоскости π 2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y N >Y 1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К 1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π 2 (ее проекция К 2 1 2 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π 1 .
Вопросы для самоконтроля
1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?
2) Какие свойства прямой вы знаете?
3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?
4) Какие задачи называются позиционными?
5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
77*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 75, а).
Решение. Как известно, для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует через прямую провести вспомогательную плоскость (R), построить линию пересечения этой плоскости с заданной (1-2) и найти
точку пересечения (К) заданной и построенной прямых. Точка К является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью (рис. 75, б). В качестве вспомогательной плоскости обычно используют горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость.
На рис. 75, в через прямую АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость R, ее след R ϑ совпадает с а"в". горизонт. след плоскости в данной задаче не нужен и поэтому не показан.
Строим линию пересечения плоскости R и плоскости, заданной треугольником CDE (пример такого построения см. в задаче 67). Построив линию 1-2 (рис. 75, в), находим точку пересечения ее с прямой АВ - точку К (k, k").
Для определения участков прямой АВ, которые будут закрыты треугольником, следует воспользоваться анализом положения точек на скрещивающихся прямых.
Например, точки 1 и 3 находятся на скрещивающихся прямых (соответственно) ED и АВ. Фронтальные проекции этих точек совпадают, т. е. точки 1 и 3 одинаково удалены от пл. Н. Но расстояния их от пл. V различны: точка 3 находится дальше от пл. V, чем точка 1. Поэтому по отношению к пл. V точка 3 закрывает точку 1 (направление взгляда указано стрелкой S). Следовательно, прямая АВ проходит перед треугольником CDE до точки К. Начиная же от точки К влево прямая АВ закрывается треугольником, и поэтому этот участок прямой показан штриховой линией.
Для выявления невидимого участка на горизонт. проекции прямой АВ рассмотрим точки 4 и 5, лежащие соответственно на прямых АВ и CD.
Если смотреть на эти точки по направлению s 1 , мы видим сначала точку 5. Точка 4 закрывается точкой 5. Следовательно, прямая АВ в этом месте закрыта треугольником CDE, и участок ее проекции от точки k до точки 4 должен быть показан штриховой линией. В данном случае точка К оказалась внутри контура треугольника CDE.
При ином взаимном положении пересекающихся элементов возможен случай, когда точка К окажется вне треугольника (рис. 75, г). Это означает, что прямая АВ пересекает плоскость, заданную треугольником CDE, вне контура этого треугольника. АВ становится невидимой за точкой К (влево).
78. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями пирамиды (рис. 76). Грани пирамиды следует рассматривать как плоскости, заданные треугольниками.
79. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями призмы (рис. 77). Грани призмы следует рассматривать как плоскости, заданные параллельными прямыми.
80*. Найти точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 78, а).
Решение. Проводим через прямую АВ (рис. 78, бив) фронтально-проецирующую плоскость R (ее след R ϑ совпадает с а"b") и строим линию MN пересечения обеих плоскостей - заданной и проведенной через АВ (построение подобно выполненному в задаче 70). Искомая точка К(k, k") пересечения прямой АВ с плоскостью Р находится в точке пересечения MN с АВ.
В данной задаче видимость участка прямой от точки А до К очевидна; однако в более сложных случаях следует видимый участок прямой определять на основании
анализа положения точек. Например, взяв точку 1 (на прямой АВ) и точку N (на следе Р ϑ). видим, что точка 1 располагается дальше относительно пл. V, чем точка N. Следовательно, прямая АВ до точки К видима. За точкой К прямая показана штриховой линией она невидима. Аналогично определяется видимость на горизонт. проекции.
81. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 79).
82*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 80, а).
Решение. Через прямую АВ проводим горизонтально-проецирующую плоскость R (след R h совпадает с ab) и строим линию пересечения плоскостей Р и R,
используя точки М и N пересечения их одноименных следов (рис. 80, б и в). Искомая точка (k", k) находится в точке пересечения МN с АВ. На рис, 80, г точка К построена с помощью пл. W. Так как пл. Р профильно-проецирующая (рис. 80, б).
то профильная проекция k" лежит в точке пересечения следа P ω с а"b". Зная k", строим k" на а"b" и k на аb. Видимые участки прямой АВ определяются так же, как в задачах 77 и 80.
83. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 81).
84*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 82, а).
Решение. Через прямую АВ проводим (рис. 82, б и в) пл. R, параллельную пл. W. Она пересекает заданную плоскость по прямой MN (точки m", n", m и n лежат на пересечении следов R ϑ и R h с одноименными проекциями соответствующих сторон
треугольника CDE). Так как прямые АВ и MN профильные, то для нахождения точки (К) их пересечения строим профильные проекции а"b" и m"n". Проекция k" находится на пересечении а"b" и m"m". По k" строим k" на а"b" и k на ab.
85. Найти точку пересечения прямой EF с плоскостью, заданной четырехугольником ABCD (рис. 83).
Дана прямая: (1) и плоскость: Ax + By + Cz + D = 0 (2).
Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если прямая (1) и плоскость (2) пересекаются, то координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям (1) и (2):
, .
Подставляя найденное значение t в (1), получим координаты точки пересечения.
1) Если Am + Bn + Cp = 0, а Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, то и t не существует, т.е. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Они параллельны.
2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. В этом случае t может принимать любые значения и , т.е. прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, т.е. она лежит в плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой 
с плоскостью 3x – 3y + 2z – 5 = 0.
3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2·3t – 5 = 0 => -17=0, что невозможно ни при одном t, т.е. прямая и плоскость не пересекаются.
Пример 2. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости: x + 2y – 4z + 1 = 0.
8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Это верно при любом значении t, т.е. прямая лежит в плоскости.
Пример 3. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 3x – y + 2z – 5 = 0.
3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точка пересечения прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол ц между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть заданы прямая и плоскость:
и .
Пусть прямая пересекает плоскость и образует с ней угол ц (). Тогда б = 90 0 – ц или б = 90 0 + ц – это угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Но 
. Значит
(3).
а) Если L P, то 
- условие перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Если L||P, то - условие параллельности прямой и плоскости.
в) Если прямая L||P и при этом точка M0(x0, y0, z0) P, то прямая лежит в данной плоскости. Аналитически:
- условия принадлежности прямой и плоскости.
Пример. Дана прямая 
и точка М 0 (1, 0, –2). Через точку М 0 провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Уравнение искомой плоскости ищем в виде: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. В данном случая 
, ,
5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.
Пучок плоскостей.
Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.
Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:
.
Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или
(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).
л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.
1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:
3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0 .
Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0
.
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1)
проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи
) через данную прямую;
2)
нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3)
определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
Пример 1.
На (фиг.250,а) даны плоскость δ
(δ 1
) и прямая АВ
(А 1 В 1
и А 2 В 2
); требуется определить точку их пересечения.
В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ
- горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ
, сливается с горизонтальной проекцией δ 1
.
Поэтому точка К 1
пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1
прямой АВ
с горизонтальной проекцией δ 1
есть горизонтальная проекция точки пересечения К
; фронтальная проекция К 2
определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2
.
Пример 2
. На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ
с фронтально - проектирующей плоскостью δ
.
Пример 1.
Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ
какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую
плоскость δ
(δ 1
), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a
по прямой NM
(N 1 M 1
, N 2 М 2
), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
) в точке С
(С 1 С 2
), что видно на (фиг.251,в). Точка С
есть точка пересечения прямой АВ
с плоскостью а
.
Пример 2.
На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB
c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h
.
Пример 3.
Даны: треугольник ABC
и прямая NM
; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ
, тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1
прямой NM
и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1
и F 1
(фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1
будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2
и F 2
, проводим через них прямую E 2 F 2
, которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2
пересекает прямую N 2 М 2
в точке К 2
. Точка К 2
будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN
с прямой EF
; горизонтальную проекцию K 1
этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2
) будет точкой пересечения данной прямой MN
с данным треугольником ABC
, как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN
пересекается в ней с прямой EF
, лежащей в плоскости треугольника ABC
.
Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC
по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (
(Начертательная геометрия)
Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
На рисунке 2.60 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников. Рисунок 2.60 Прямая К,К2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. ...(Инженерная графика)
Частные случаи
При умеренных давлениях (Ре « 1000 атм.) жидкую фазу (например, воду) можно полагать несжимаемой (Ре = const). В этом случае система уравнений для этой несжимаемой среды может быть еще более упрощена и приведена к следующему виду: где, а гидростатическими силами (членом уе7) для...(Основы кавитационной обработки многокомпонентных сред)
Частные случаи равновесия в непрерывных системах Барометрическое уравнение
Барометрическое уравнение устанавливает зависимость давления газа по высоте. Существуют восходящие еще к Лапласу многочисленные методы вывода этого уравнения. В данном случае воспользуемся тем, что газ, находящийся в поле силы тяжести, является непрерывной системой, содержащей один компонент - газ с...(Термодинамика в современной химии)
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. Так, на рис. 67 изображены плоскости: Т 1Щ, ФJL Ш, Г1 Пз. Этим плоскостям будут параллельны прямые: а || Т (а 1 Пг);...(Начертательная геометрия)
ОБЩИЕ СЛУЧАИ. СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью Ф способом посредников желательно прямую заключать в такую плоскость- посредник Т, которая пересекает заданную поверхность Ф по точной линии - прямой или окружности. Обзор и классификация различных видов таких плоскостей даны ранее (см....(Начертательная геометрия)
СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Если заданы произвольно обе плоскости общего положения, то задачу можно решить способом посредников в соответствии с алгоритмом № 2. В качестве посредниковвыбирают две плоскости Т и Т1 - проецирующие или уровня (рис. 254). В случае пересечения двух плоскостей алгоритм № 2 запишем так: 1. Выбор Т и Т1....(Начертательная геометрия)
Loading...