Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение , меньшее х
Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины
Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением
F(jc) = 0 при х х
F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.
Итак (см. рис. 2.1):
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х 2 >х
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности - равна единице, т.е.
4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.
Рис. 2.2
3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
F(x)= Jp (*)*. (2.10)
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
Геометрически свойства / и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс , и полная площадь фигуры , ограниченной кривой распределения и осью абсцисс , равна единице.
Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:
(если интеграл абсолютно сходится); или
(если приведенные интегралы сходятся).
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение x q случайной величины , при котором функция ее распределения принимает значение , равное q, т. е.
- 100q%-ou точкой называется квантиль X~ q .
- ? Пример 2.8.
По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.
Решение. По определению (2.16) F(xo t3)= 0,3, т. е.
~Y~ = 0,3, откуда квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X , или квантиль Х)_о,з = xoj » находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?
Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка , определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа , т. е. . Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения - это вероятность того, что случайная точка в результате испытания попадет левее точки .
Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид 
где неравенство означает, что суммирование распространяется на все значения , меньше . Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (рис. 7). При каждом новом значении случайной величины ступень поднимается выше на величину, равную вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.
Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8). 
Рассмотрим общие свойства функций распределения.
Свойство 1. Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей:
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что .
Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Свойство 3.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. 
.
Свойство 4.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. 
и 
.
Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением
Найти коэффициент и построить график . Определить вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение на интервале .
Плотностью распределения вероятностей Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x) :
Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима.
Плотность распределения вероятностей f(x) – называют дифференциальной функцией распределения:
Свойство 1. Плотность распределения - величина неотрицательная:
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:
Пример 1.25. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
f(x) .
Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти плотность распределения.
2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти плотность распределения f(x).
1.3. Числовые характеристики непрерывной случайной
величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
a,b ), то:
f(x) – плотность распределения случайной величины.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:
Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b ), то:
Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (a,b ), определяется равенством:
.
Пример 1.26. Непрерывная случайная величина Х
Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадание случайной величины Х в интервале (0;0,7).
Решение: Случайная величина распределена на интервале (0,1). Определим плотность распределения непрерывной случайной величины Х :
а) Математическое ожидание 
:
б) Дисперсия 
в) 
Задания для самостоятельной работы:
1. Случайная величина Х задана функцией распределения:
M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
Х в интервал (2,3).
2. Случайная величина Х
Найти: а) математическое ожидание M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;1,5).
3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:
Найти: а) математическое ожидание M(x) ;
б) дисперсию D(x) ;
в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .
1.4. Законы распределения непрерывной случайной величины
1.4.1. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:
Рис. 4.
; 
; 
.
Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.
Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .
Плотность вероятности: 
.
Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:
Задания для самостоятельной работы:
1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);
б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).
2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.
1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:
где – параметр показательного распределения.
Таким образом 
Рис. 5.
Числовые характеристики:
Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.
Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:
; 
Искомая вероятность , где
Окончательно:
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .
2. Случайная величина Х
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .
3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
1.4.3. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:
где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :
, где
– функция Лапласа.
Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности 
называется стандартным.
Рис. 6.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :
.
В частности, при а= 0 справедливо равенство:
Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Решение: .
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).
3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
14. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры.
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
|
x i | ||||
|
p i |
называется .
Свойства функции распределения.
Доказательство: Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно,.
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
Доказательство:
Пусть х 1
Так как Р(x 1 Х 4
.
Р(х 1 Х Доказательство:
это непосредственно
следует из формулы (3).
Пример:
Найти вероятность того, что случайная
величина Х примет значение в интервале
}
Loading...