Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Решение такого уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения Корни уравнения определяются только параметрами цепи. Расчетная часть Для электрической цепи изображенной на рис. Подключение RLC-цепи к источнику постоянного напряжения U в момент времени t = 0 Определить: при каких значениях R переходный процесс носит апериодический характер; при каких значениях R переходный процесс носит колебательный характер; частоту ωС собственных затухающих колебаний для тех значений R для которых переходный процесс носит колебательный...

Лабораторная работа № 14

исследование переходных процессов в rcL -цепи

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы описываются уравнениями второго порядка типа

Решение такого уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения

Корни уравнения определяются только параметрами цепи

Величина α носит название коэффициента затухания контура, а ω 0 - резонансная частота контура.

Характер переходного процесса существенно зависит от вида корней р 1 и р 2 , которые могут быть:

вещественными и различными (R > 2 ρ );

вещественными и равными (R = 2 ρ );

комплексно-сопряженными (R < 2 ρ ).

Здесь - характеристическое сопротивление контура.

Расчетная часть

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1, заданы:

индуктивность катушки L ;

емкость конденсатора С;

сопротивление резистора R .

Рис. 1. Подключение RLC -цепи к источнику постоянного напряжения U

в момент времени t = 0

Определить:

при каких значениях R , переходный процесс носит апериодический характер;

при каких значениях R , переходный процесс носит колебательный характер;

частоту ω С собственных затухающих колебаний для тех значений R , для которых переходный процесс носит колебательный характер

квазипериод Т С собственных затухающих колебаний

Таблица 1

Определение характера переходного процесса в RLC -цепи

Комбинация элементов	С, нФ	L , мГн	R , Ом	2ρ , Ом	Характер процесса	Т С , мкс
			1000
			2000
			5000

Экспериментальная часть

В экспериментальной части необходимо:

• наблюдать осциллограммы напряжений на элементах RLC -цепи в процессе заряда и разряда конденсатора при различных номиналах элементов цепи ;
• определить влияние номиналов элементов цепи на характер переходного процесса.
• сравнить экспериментальные результаты с расчетными.

Подготовьте лабораторную установку к наблюдению осциллограмм напряжения на конденсаторе. Принципиальная схема проведения измерений представлена на рис. 2.

Рис. 2. Принципиальная схема осциллографирования напряжения

на конденсаторе RLC -цепи

В лабораторной работе переходный процесс исследуется с помощью электронного осциллографа, поэтому процесс периодически повторяется. Это достигается тем, что на вход цепи с выхода генератора подается не одиночный скачок напряжения, а периодическая последовательность положительных импульсов (см. «Техническое описание лабораторной установки»). При положительном скачке напряжения (положительный импульс) происходит заряд конденсатора. При отрицательном скачке напряжения (пауза между импульсами) конденсатор разряжается.

Схема соединения элементов установки для комбинации элементов №1 представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема соединения элементов установки для осциллографирования

напряжения на конденсаторе (С = 10 нФ; L = 10 мГн; R = 200 Ом)

Регулятор выходного напряжения генератора импульсов поверните против часовой стрелки до упора. Собранную схему предъявите преподавателю. После проверки преподавателем собранной схемы включите установку.

Включите питание осциллографа. Режим работы осциллографа:

• двухканальный с одновременной индикацией напряжения обоих каналов;
• вход 1 – открытый; чувствительность 0,2 В / деление;
• вход 2 – открытый; 0,2 В / деление;
• синхронизация - внешняя (подключение к гнездам на левой боковой поверхности лабораторного модуля)
• длительность развертки 0,2 мс / дел.

При первоначальной настройке линии нулевых напряжений обоих каналов совместите и установите в центре экрана.

Включите генератор импульсов. Регулятор амплитуды импульсов установите в среднее положение. Получите на экране осциллографа устойчивое изображение формы напряжения на выходе генератора импульсов.

Регулировкой длительности установите длительность положительных импульсов равной 500 мкс (период повторения импульсов 1000 мкс). Установите амплитуду импульсов равной 1 вольт. В дальнейшем поддерживайте эту величину неизменной.

Зарисуйте в общих осях осциллограммы напряжения («осц. №1») на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы. При необходимости откорректируйте чувствительность входов осциллографа.

Включите генератор импульсов. Зарисуйте в общих осях осциллограммы напряжения («осц. №2») на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С

Подготовьте лабораторную установку к наблюдению осциллограмм тока переходного процесса в RLC -цепи.

Принципиальная схема проведения измерений представлена на рис. 4.

Рис. 4 . Принципиальная схема осциллографирования тока

переходного процесса в RLC -цепи

Схема соединения элементов установки для комбинации элементов №1 представлена на рис. 5.

Рис. 5 . Схема соединения элементов установки для осциллографирования

тока в цепи (С = 10 нФ; L = 10 мГн; R = 200 Ом)

Включите генератор импульсов. Зарисуйте осциллограммы тока в цепи. Рисунок выполните в тех же осях, что и осциллограммы №1 напряжений на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы.

Выключите генератор импульсов. Произведите замену элементов на панели лабораторного модуля (см. комбинацию №2 согласно таблице 1).

Включите генератор импульсов. Зарисуйте осциллограммы тока в цепи. Рисунок выполните в тех же осях, что и осциллограммы №2 напряжений на выходе генератора и на конденсаторе. Определите характер переходного процесса. Если переходный процесс носит колебательный характер, определите квазипериод Т С собственных затухающих колебаний. Сравните с результатом, полученным в расчетной части лабораторной работы.

И т. д. проведите наблюдения и зафиксируйте результаты эксперимента для комбинаций №№ 3-7.

Выключите генератор импульсов.

Выключите лабораторную установку.

Контрольные вопросы

1. Каковы причины возникновения переходных процессов?
2. Какой режим работы называется установившимся?
3. Что называется переходным процессом?
4. Каков физический смысл постоянной времени τ?
5. Какой процесс в контуре называется апериодическим?
6. Какой процесс в контуре называется колебательным?
7. Как определяются частота и период свободных колебаний?
8. Почему убывает амплитуда свободных колебаний контура?
9. Что такое логарифмический декремент затухания?
10. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе в процессе заряда?
11. Сформулируйте законы коммутации.
12. Что такое нулевые и ненулевые начальные условия?
13. Какой вид имеет свободная составляющая переходных процессов в цепях второго порядка?
14. Что представляет собой принужденная составляющая?

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
64153.		Проектування будівлі банку «Хрещатик»	7.73 MB
	Капітальне будівництво, як одна з найважливіших галузей матеріального виробництва країни, впливає на науково-технічний прогрес всіх інших галузей матеріального виробництва. Немає такої галузі виробництва і взагалі діяльності людей, де не треба була б участь будівельників.
64154.		ОРГАНІЗАЦІЯ ОБЛІКУ НА ДЕРЖАВНОМУ ПІДПРИЄМСТВІ «ПОЛТАВСЬКЕ ЛІСОВЕ ГОСПОДАРСТВО»	7.29 MB
	З його допомогою виробляються стратегія і тактика розвитку підприємства плани й управлінські рішення здійснюється контроль за їх виконанням виявляються резерви підвищення ефективності виробництва оцінюються результати діяльності підприємства його підрозділів і працівників.
64155.		Ипотечное жилищное кредитование, проблемы и перспективы развития	7.28 MB
	Теоретические основы ипотечного кредитования Модели ипотечного кредитования. Современное состояние рынка ипотечного жилищного кредитования в России Анализ основных тенденций рынка ипотечного жилищного кредитования в России на современном этапе.
64156.		Изучение мотивации персонала как функции управления на ООО «МВидео Менеджмент»	6.6 MB
	Теоретические основы системы мотивации и стимулирования персонала организации. Понятие и сущность стимулирования и мотивации персонала организации. Современные системы мотивации и стимулирования персонала на примере ООО МВидео Менеджмент.
64157.		Персонал организации. Анализ формирования и пути повышения эффективности использования при программе социально-экономического развития 2011-2015 г. (на материалах ОАО «СветлогорскХимволокно»)	1.12 MB
	Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи: раскрыть содержание труда работников промышленной организации и показатели его характеризующие; рассмотреть показатели использования трудовых ресурсов организации и методические подходы к определению трудового потенциала персонала.
64158.		Модули статистической обработки анализатора «Тензотрем»	5.01 MB
	Цель работы – исследование и разработка программных модулей статистической обработки измерительной информации тензометрического треморографа. Объект исследования – тензометрический треморограф. Тензометрический треморограф предназначен для оценки активности моторной системы человека...
64159.		Розробка тестових завдань та автоматизованої системи тестування для перевірки та оцінювання поточних знань студентів з дисциплін «Інформатика. Обчислювальна математика та програмування» та «Комп’ютерні мережі»	1.44 MB
	Використання комп’ютерів для контролю знань є економічно вигідним і забезпечує підвищення ефективності навчального процесу. Як зазначає І. Булах, комп’ютерне тестування успішності дає можливість реалізувати основні дидактичні принципи контролю навчання: принцип індивідуального характеру перевірки й оцінки знань...
64160.		Разработка и исследование ускоренного алгоритма калибровки моделей больших сетей по коэффициенту кластеризации	1.56 MB
	Целью работы является изучение алгоритмов генерации случайных графов, разработка нового алгоритма, его реализация, проведение необходимых испытаний. В работе изложены необходимые понятия из теории случайных графов, подробно разбираются методы генерации графов Барабаши-Альберт, Эрдеша-Реньи, Уатса-Строгатса...

Цепь c реактивными элементами L и С запасает энергию как в магнитном, так и в электрическом поле, поэтому в ней отсутствуют скачки тока и напряжения. Найдем переходные i и , связанные с запасами энергии в RLC -цепи (рис. 7.13), при ее включении на произвольное напряжение u , считая конденсатор С предварительно разряженным.

Уравнение состояния цепи удовлетворяет второму закону Кирхгофа:

.

Выразив ток через емкостное напряжение:

,

получим уравнение

,

порядок которого определен числом элементов в цепи, способных к накоплению энергии. Поделив обе части уравнения на коэффициент LC при производной высшего порядка, найдем уравнение переходного процесса:

, (7.17)

общее решение которого состоит из суммы двух слагаемых:

Принужденная составляющая определяется видом приложенного напряжения. При включении цепи на ток установившегося режима и все напряжение будет приложено к емкости . При включении цепи на установившиеся ток и напряжения на элементах R, L, C будут синусоидальны. Принужденную составляющую рассчитывают символическим методом, а затем переходят от комплекса к мгновенному значению .

Свободную составляющую определяют из решения однородного уравнения

(7.18)

как сумму двух экспонент (два элемента накопления энергии L , C ):

где - корни характеристического уравнения

.

Характер свободной составляющей зависит от вида корней

, (7.20)

которые могут быть действительными или комплексными, и определяется соотношением параметров RLC -цепи.

Возможны три варианта переходного процесса:

- апериодический , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму без изменения знака. Условие возникновения:

(7.21)

где - критическое сопротивление . При этом корни характерис-тического уравнения - действительные, отрицательные и
разные: ; постоянные времени также разные: ;

- предельный режим апериодического .Условие возникновения:

. (7.22)

Корни характеристического уравнения - действительные, отрицательные и равные: ; постоянные времени также равны: . Предельному режиму соответствует общее решение однородного уравнения (7.18) в виде

; (7.23)

- периодический, иликолебательный , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму, периодически изменяя знак и затухая во времени по синусоиде. Условие возникновения:

. (7.24)

Корни характеристического уравнения - комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью:

где α - коэффициент затухания :

ω св - угловая частота свободных (собственных) колебаний :

. (7.26)

Переходный процесс в этом случае - результат колебательного обмена энергией с частотой свободных колебаниймежду реактивными элементами L и C цепи. Каждое колебание сопровождается потерями в активном сопротивлении R , обеспечивающими затухание с постоянной времени .

Общее решение уравнения (7.18) при колебательном переходном процессе имеет вид

где А и γ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Запишем напряжение u C и ток i , связанные с запасами энергии в цепи, для случая вещественных и разных корней характеристического уравнения:

Из начальных условий

(7.30)

определим постоянные интегрирования А 1 и А 2 .

Рассмотрим включение RLC- цепи на напряжение . Принужденные составляющие емкостного напряжения и тока определяются из конечного установившегося режима при и равны:

. (7.31)

Тогда система уравнений (7.30) для определения постоянных интегрирования принимает вид

(7.32)

Решение системы (7.32) дает:

; (7.33)

. (7.34)

В результате подстановки принужденных составляющих и постоянных А 1 и А 2 в выражения для переходных напряжения u C (t ) (7.28) и тока i (t ) (7.29) получим:

; (7.35)

так как согласно теореме Виета .

Зная переходный ток, запишем переходные напряжения:

;

. (7.37)

В зависимости от вида корней возможны три варианта переходного процесса.

1. При переходный процесс- апериодический , тогда

На рис. 7.14, а , б приведены кривые , и их составляющие; на рис. 7.14, в кривые , , представлены на одном графике.

Как следует из кривых (рис. 7.14, в ), ток в цепи растет плавно от нуля до максимума, а затем плавно убывает до нуля. Время t 1 достижения максимума тока определяют из условия . Максимуму тока соответствуют точка перегиба кривой емкостного напряжения () и нуль индуктивного напряжения ().

Напряжение в момент коммутации возрастает скачком до U 0 , затем уменьшается, проходит через нуль, меняет знак, возрастает по модулю до максимума и снова уменьшается, стремясь к нулю. Вре-
мя t 2 достижения максимума напряжения на индуктивности определяют из условия . Максимуму соответствует точка перегиба кривой тока, так как .

На участке роста тока () ЭДС самоиндукции, препятствующая росту, отрицательна. Напряжение, затрачиваемое источником на преодоление ЭДС, . На участке убывания тока () ЭДС , а напряжение, уравновешивающее ЭДС, .

2. При в цепи возникает предельный (пограничный ) режим апериодического переходного процесса; кривые , и подобны кривым на рис. 7.14, характер процесса не меняется.

3. При в цепи возникает периодический (колебательный )переходный процесс, когда

где - резонансная частота , на которой в RLC -цепи будет резонанс.

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для емкостного напряжения (7.35), получим:

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для тока (7.36), получим:

Подставив комплексы в (7.37), получим для напряжения на индуктивности

Для построения зависимостей , , необходимо знать период собственных колебаний и постоянную времени .

На рис. 7.15 приведены кривые , и для достаточно большой постоянной . Порядок построения следующий: сначала строят огибающие кривые (на рис. 7.15 – пунктирные кривые) по обе стороны от конечного установившегося режима. С учетом начальной фазы в том же масштабе, что и t, откладывают четверти периода, в которых синусоида достигает максимума или обращается в нуль. Синусоиду вписывают в огибающие таким образом, чтобы она касалась огибающих в точках максимума.

Как следует из кривых u С (t ), i (t ) и u L (t ), емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода, а индуктивное опережает ток на четверть периода, находясь в противофазе с емкостным напряжением. Нуль индуктивного напряжения () и точка перегиба кривой емкостного напряжения () соответствуют максимуму тока./Максимуму индуктивного напряжения соответствует точка перегиба кривой тока ().

Ток i (t ) и напряжение u L (t ) совершают затухающие колебания около нулевого значения, напряжение u С (t ) – около установившегося U 0 . Емкостное напряжение в первую половину периода достигает максимальной величины, не превышая 2U 0 .

В случае идеального колебательного контура w

называемый логарифмическим декрементом затухания .

Идеальному колебательному контурусоответствует .

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Дифференциальное уравнение:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Это имеет место при соотношении параметров:

коэфициэнт затухания:

угловая частота собственных колебаний:

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

Это имеет место при условии:

Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp < Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.

Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи:

последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э.Д.С. Е;

Предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь.

1) При подключении последовательной RLC-цепи кисточнику постоянной Э.Д.С. Е (рис. 6.3.а) уравнение электрического равновесия цепи по второму закону Кирхгофа имеет вид:

U L +U R +U C =E (6.10)

с учетом соотношений

U R = R i=R C (dU C /dt);

U L =L (di/dt)=L C (d 2 U C /dt 2)

уравнение (6.10) можно записать в виде:

L C (d 2 U C /dt 2) + R C (dU C /dt) + U C = E (6.11)

а	б	в
Рис. 6.3

Решение неоднородного дифференциального уравнения (6.11) опреде­ляется характеристическим уравнением: LCp 2 +RCp+1=0 ,

которое имеет корни

δ=R/2L - коэффициент затухания,

Резонансная частота.

В зависимости от соотношения δ 2 и ω 2 возможны три основных вида переходных процессов:

а) δ 2 > ω 2 или Корни характеристического уравнения – отрицательные вещественные. Переходный процесс имеет апериодический характер (рис. 6.3.б).

б) δ 2 < ω 2 или Корни характеристического уравнения – комплексные и сопряженные. Характер переходного процесса - колебательный и затухающий (рис. 6.3.в)

в) δ 2 = ω 2 или Корни характеристического уравнения вещественные и равные p 1 =p 2 =-R/2L. Характер переходного процесса - апериодический и затухающий (критический случай). Время переходного процесса минимальное.

Для первых двух случаев решение уравнения имеет вид:

(6.13)

V=U C (0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации.

Для случая δ 2 < ω 2 уравнение (6.13) приводится к виду:

, (6.14)

- частота затухающих колебаний.

Из уравнения (6.14) следует, что переходный процесс U c (t) имеет ха­рактер колебаний с угловой частотой ω и периодом Т=2π/ω , которые затухают с постоянной времени τ=2L/R=1/δ.

Для определения величины постоянной времени τ можно использовать огибающую колебательной кривой U c (t), имеющую форму экспоненты:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Для третьего случая δ=ω 0 решение уравнения (6.11) имеет вид:

. (6.15)

Особенность этого режима состоит в том, что при уменьшении R ниже значения переходной процесс становится колебательным.

2. При разряде конденсатора на RL-цепь (рис 6.4.а) возможны все три режима, рассмотренные выше и определяемые соотношением величин δ и ω 0 . Переходные процессы в этих режимах описываются уравнениями (6.13), (6.14), (6.15) при Е=0. Например, для случая δ<ω 0 уравнение (6.14) при колебательном разряде конденсатора имеет вид:

(6.16)

Кривая переходного процесса U c (t) приведена на (рис. 6. 4.б). Огибаю­щей кривой U c (t) является функция exp(-δt)=exp(-t/τ), которая может быть исполь­зована для определения постоянной времени τ и коэффициента затухания δ=1/τ.

Переходные процессы в RLC цепях

Линейные цепи 2-го порядка содержат два разнотипных реактивных элемента L и C. Примерами таких цепей являются последовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1).

Рис. 1. Линейные цепи второго порядка: а - последовательный резонансный контур; б - параллельный резонансный контур

Переходные процессы в колебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Рассмотрим случай разряда емкости на RL цепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:

После дифференцирования (1) получим

Рис. 2.

Решение U с (t) уравнения (2) находим как сумму свободной U св (t) и принужденной U пр составляющих

U с =U св +U пр. (3)

U пр зависит от Е, а U св (t) определяется решением однородного дифференциального уравнения вида

Характеристическое уравнение для (4) имеет вид

LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)

Корни характеристического уравнения

Величину R/2L = б называют коэффициентом затухания, - резонансной частотой контура. При этом

Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p 1 и p 2 . Они могут быть:

1) вещественные, различные при R > 2с, Q < 0,5;

2) вещественные и равные при R = 2с, Q = 0,5;

3) комплексно-сопряженные при R < 2с, Q > 0,5.

Здесь - характеристическое сопротивление, Q = с/R - добротность контура.

В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

Для нахождения постоянных интегрирования А 1 и А 2 запишем выражение для тока в цепи

Используя начальные условия U c (0 -) = E и i(0 -) = 0, получаем систему уравнений

Из решения системы имеем

В результате для тока и напряжений в контуре получим

Переходные процессы в цепях второго порядка

Определение независимой переменной.

I L - независимая переменная

Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.

I L (t)=i св (t)+i пр

Определим начальные условия.

IL(0)=E/R=19.799А

Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.

i св (t)=A*e бt *sin(wt+и)

Z вх =2R+jwL+1/jwC

p=-883.833-7.016i*10 3

ф=1/|б|=1.131*10 -3

T=2р/w=8.956*10 -4

Определим принужденные составляющие при t=?

Определим постоянный интегрирования Aи и

U L (t)=LAбwe бt *sin(wt+и)

i L (t)=Ae бt *sin(wt+и)

LAб*sin и+ LAw*cosи =0

р Acos и=2.494

tg и=19.799/Acos и=7.938

Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой щ 1 =2р/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами щ n =nщ 1 , кратными основной частоте щ 1 . Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.

Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических составляющих с различными амплитудами Е n , частотами щ n =nщ 1 и начальными фазами ц n в виде ряда Фурье

Ряд Фурье можно представить в другой форме:

Постоянная составляющая Е 0 и коэффициенты ряда Фурье В n и С n рассчитываются по формулам

Для нечетных функций е(t) коэффициенты С n =0, а для четных B n =0, Связь между коэффициентами B n , C n и амплитудами Е n и фазами ц n гармоник определяется соотношениями

Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник E n от частоты щ n =nщ 1 , называют спектром.

Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:

1. Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды E n и фазы ц n всех гармоник э.д.с.

2. В интересующей ветви рассчитываются токи i 0 , i 1 ,...i n , создаваемые каждой гармоникой э.д.с.

3. Искомый ток в ветви находится как сумма токов

Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i 0 , либо синусоидальные токи i n , то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.