Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи - объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z = a + bi
, где a, b
— вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a = Re(z), b=Im(z)
.
i
называется мнимой единицей. i 2 = -1
. В частности, любое вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i
, где a
— вещественное. Если же a = 0
и b ≠ 0
, то число принято называть чисто мнимым.
Теперь введем операции над комплексными числами.
Рассмотрим два комплексных числа z 1 = a 1 + b 1 i
и z 2 = a 2 + b 2 i
.
Рассмотрим z = a + bi .
Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т.д. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N
– натуральные числа, Z
- целые, Q
– рациональные, R
– вещественные, C
– комплексные.
Представление комплексных чисел
Алгебраическая форма записи.
Рассмотрим комплексное число z = a + bi
, такая форма записи комплексного числа называется алгебраической
. Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок
Тригонометрическая форма.
Из рисунка видно, что число z = a + bi
можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos(φ)
, b = rsin(φ)
, r=|z|
, следовательно z = rcos(φ) + rsin(φ)i
, φ ∈ (-π; π)
называется аргументом комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой
. Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z = rcos(φ) + rsin(φ)i
, то z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i
, эта формула называется формулой Муавра
.
Показательная форма.
Рассмотрим z = rcos(φ) + rsin(φ)i
— комплексное число в тригонометрической форме, запишем в другом виде z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ
, последнее равенство следует из формулы Эйлера, таким образом мы получили новую форму записи комплексного числа: z = re iφ
, которая называется показательной
. Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень: z n = r n e inφ
, здесь n
не обязательно целое, а может быть произвольным вещественным числом. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач.
Основная теорема высшей алгебры
Представим, что у нас есть квадратное уравнение x 2 + x + 1 = 0
. Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат: существует ровно n различных корней степени n из единицы.
Основные типы задач
В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории.
- Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами.
- Нахождение корней многочленов в комплексных числах.
- Возведение комплексных чисел в степень.
- Извлечение корней из комплексных чисел.
- Применение комплексных чисел для решения прочих задач.
Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач.
Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам.
Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его корни будут вещественными и находятся по известной формуле. Если же дискриминант отрицателен, то есть D = -1∙a 2
, где a
— некоторое число, то можно представить дискриминант в виде D = (ia) 2
, следовательно √D = i|a|
, а дальше можно воспользоваться уже известной формулой для корней квадратного уравнения.
Пример
. Вернемся к упомянутому выше квадратному уравнению x 2 + x + 1 = 0
.
Дискриминант — D = 1 — 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2
.
Теперь с легкостью найдем корни:
Возведение комплексных чисел в степень можно выполнять несколькими способами. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень (2 или 3), то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше (в задачах она часто бывает гораздо больше), то нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами.
Пример
. Рассмотрим z = 1 + i
и возведем в десятую степень.
Запишем z
в показательной форме: z = √2 e iπ/4
.
Тогда z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4
.
Вернемся к алгебраической форме: z 10 = -32i
.
Извлечение корней из комплексных чисел является обратной операцией по отношению к операции возведения в степень, поэтому производится аналогичным образом. Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа.
Пример
. Найдем все корни степени 3
из единицы. Для этого найдем все корни уравнения z 3 = 1
, корни будем искать в показательной форме.
Подставим в уравнение: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Отсюда: r = 1
, 3φ = 0 + 2πk
, следовательно φ = 2πk/3
.
Различные корни получаются при φ = 0, 2π/3, 4π/3
.
Следовательно 1
, e i2π/3
, e i4π/3
— корни.
Или в алгебраической форме:
Последний тип задач включается в себя огромное множество задач и нет общих методов их решения. Приведем простой пример такой задачи:
Найти сумму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx) .
Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить. Для ее решения используются следующие представления:
Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии.
Заключение
Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.
Литература
Напомним необходимые сведения о комплексных числах.
Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
(Например, .)
У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).
Занятие 12 . Комплексные числа.
12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.
12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Комплексным числом в алгебраической форме называется число
где
называется мнимой единицей
и
- действительные числа:
называется действительной (вещественной)
частью
;
- мнимой частью
комплексного числа
.
Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми числами
.
Множество всех комплексных чисел
обозначается буквой
.
По определению,
Множество всех действительных чисел
является частью множества
:
.
С другой стороны, существуют комплексные
числа, не принадлежащие множеству
.
Например,
и
,
т.к.
.
Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Пример 1
. Решить уравнение
.
Решение. ,
Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни
,
.
Пример 2 . Найти действительную и мнимую части комплексных чисел
,
,
.
Соответственно вещественная и мнимая части числа ,
Любое комплексное число
изображается вектором на комплексной
плоскости
,
представляющей плоскость с декартовой
системой координат
.
Начало вектора лежит в точке
,
а конец - в точке с координатами
(рис
1.) Ось
называется
вещественной осью, а ось
- мнимой осью комплексной плоскости
.
Комплексные числа
сравниваются между собой только знаками
.
.
Если же хотя бы одно из равенств:
нарушено, то
.
Записи типа
не имеют смысла
.
По определению, комплексное число
называется комплексно сопряженным
числу
.
В этом случае пишут
.
Очевидно, что
.
Везде далее черта сверху над комплексным
числом будет означать комплексное
сопряжение.
Например, .
Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.
1. Сложение комплексных чисел производится так:
Свойства операции сложения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности.
Нетрудно видеть, что геометрически
сложение комплексных чисел
означает сложение отвечающих им на
плоскости
векторов по правилу параллелограмма.
Операция вычитание числа из числа производится так:
2. Умножение комплексных чисел производится так:
Свойства операции умножения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности;
- закон дистрибутивности.
3. Деление комплексных чисел
выполнимо только при
и производится так:
.
Пример 3
. Найти
,
если
.
Пример 4
. Вычислить
,
если
.
z, т.к.
.
.(ош!)
Нетрудно проверить (предлагается это
сделать самостоятельно) справедливость
следующих утверждений:
Модуль, аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа
(модуль
обозначается
)
это - неотрицательное число
,
т.е.
.
Геометрический смысл
- длина вектора, представляющего число
на комплексной плоскости
.
Уравнение
определяет множество всех чисел
(векторов на
),
концы которых лежат на единичной
окружности
.
Аргумент комплексного числа
(аргумент
обозначается
)
это – угол
в радианах между вещественной осью
и числом
на комплексной плоскости
,
причем
положителен, если он отсчитывается от
до
против часовой стрелки, и
отрицателен, если
отсчитывается от оси
до
по часовой стрелке
.
Таким образом, аргумент числа
определяется неоднозначно, с точностью
до слагаемого
,
где
.
Однозначно аргумент числа
определяется в пределах одного обхода
единичной окружности
на плоскости
.
Обычно требуется найти
в пределах интервала
,
такое значение называется главным
значением аргумента числа
и обозначается
.
и
числа
можно найти из уравнения
,
при этом обязательно
нужно
учитывать
, в какой четверти плоскости
лежит конец вектора
- точка
:
если
(1-я четверть плоскости
),
то
;
если
(2-я четверть плоскости
),
то;
если
(3-я четверть плоскости
),
то
;
если
(4-я четверть плоскости
),
то
.
Фактически, модуль и аргумент числа
,
это полярные координаты
точки
- конца вектора
на плоскости
.
Пример 5 . Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
.
Аргументы чисел
,
лежащих осях
,
разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной
плоскости
,
находятся сразу же по графическим
изображениям этих чисел на плоскости
.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.
Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
имеет вид:
, (2)
где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .
Показательная
(экспоненциальная
)
форма записи комплексного числа
имеет вид:
, (3)
где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:
. (4)
Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
Пример 6 . Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.
Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.
,
.
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
3)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
5)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Тригонометрическая форма числа ,
.
7)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма числа .
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Показательная форма записи комплексных
чисел приводит к следующей геометрической
трактовке операций умножения и деления
комплексных чисел. Пусть
- показательные формы чисел
.
1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются .
2.
При делении комплексного числа
на число
получается комплексное число
,
модуль
которого равен отношению модулей
,
а аргумент
- разности
аргументов чисел
.
Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
По определению,
При возведении в целую степень
комплексного
числа
,
следует действовать так: сначала найти
модуль
и аргумент
этого числа; представить
в показательной форме
;
найти
,
выполнив следующую последовательность
действий
Где . (5)
Замечание.
Аргумент
числа
может не принадлежать интервалу
.
В этом случае следует по полученному
значению
найти главное значение
аргумента
числа
,
прибавляя (или вычитая) число
с таким значением
,
чтобы
принадлежало интервалу
.
После этого, нужно заменить в формулах
(5)
на
.
Пример 7
. Найти
и
,
если
.
1)
=
(см. число
из примера 6).
2)
,
где
.
.
.
Следовательно, можно заменить на и, значит,
Где
.
3)
,
где
.
.
Заменим на . Следовательно,
Извлечение корня
-й
степени
из комплексного числа
проводится по формуле Муавра-Лапласа
Комплексные числа
Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината
комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.
Операции с комплексными числами. Геометрическое
представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Операции с комплексными
числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая
D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физикии техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Основные договорённости:
1. Действительное число
а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .
3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.
Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:
( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.
П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение
двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному
положительному числу.
Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .
Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i
И выполнив все преобразования, получим:
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r