Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.
Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.
Немного истории
Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.
Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:
Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.
Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.
Гаусс сгруппировал числа следующим образом:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо
Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.
Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.
Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050
Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Задачи на использование правила Гаусса
А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.
Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.
В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.
Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.
Задача 1
Найти сумму чисел:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Решение.
Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Задача 2
Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?
Решение.
С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)
Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.
Один из вариантов:
- 9г, 6г
- 8г, 7г
- 5г, 4г, 3г, 2г, 1г
Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.
Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).
Задача 3
Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?
Решение.
Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:
Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.
Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.
Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.
Задача 4
Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?
Решение.
Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.
По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:
1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.
Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.
Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.
Задача 5
Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?
Решение.
Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Задача 6
Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?
Решение.
Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:
- первая клетка — 1,
- вторая — 2,
- третья — 3,
- восьмая — 8,
- девятая — 9.
Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.
Задача 7
Вычислить сумму, используя прием Гаусса:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Решение.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Задача 8
Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?
Решение.
Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)
Вычисляем массу гирек, которые убрали:
Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.
Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.
Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):
1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.
Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.
Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.
Удачи в развитии Ваших детей.
Содержимое:
Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N - наибольшее число ряда.
Шаги
- 1
Определите наибольшее целое число (N).
Суммируя целые числа от 1 до любого заданного числа N, вы должны определить значение N (N не может быть десятичным числом или дробью или отрицательным числом).
- Пример. Найдите сумму всех целых чисел от 1 до 100. В этом случае N=100, так как это наибольшее (и конечное) число данного вам числового ряда.
- 2
Умножьте N на (N +1) и разделите результат умножения на 2.
Когда вы определили целое значение N, подставьте его в формулу (N(N+1))/2 и вы найдете сумму всех целых чисел от 1 до N.
- Пример. Подставьте N=100 и получите (100(100+1))/2.
- 3
Запишите ответ.
Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.
- Пример.
- (100(100+1))/2 =
- (100(101))/2 =
- (10100)/2 = 5050
- Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
- Пример.
- 4
Вывод формулы (N(N+1))/2.
Еще раз рассмотрим вышеописанный пример. Мысленно разделите ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряда - первый от 1 до 50, а второй от 51 до 100. Если вы сложите первое число (1) первого ряда и последнее число (100) второго ряда, то вы получите 101. Вы также получите 101, если сложите 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97, и так далее. Если каждое число первой группы сложить с соответствующим числом второй группы, то в итоге мы получим 50 чисел, каждое из которых равно 101. Поэтому 50*101 = 5050 - сумма чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 = 100/2 и 101 = 100 + 1. На самом деле это справедливо для суммы любых положительных целых чисел: их суммирование можно разбить на два этапа с двумя рядами чисел, причем соответствующие числа в каждом ряду могут быть сложены друг с другом, а результат сложения будет одинаковым.
- Можно сказать, что сумма целых чисел от 1 до N равна (N/2)(N+1). Упрощенная запись этой формулы есть формула (N(N+1))/2.
Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N
- 1 Определите вариант суммирования (включительно или нет). Часто в задачах вместо того, чтобы найти сумму чисел от 1 до заданного числа N, просят найти сумму целых чисел от N 1 до N 2 , где N 2 > N 1 и оба числа > 1. Вычислить такую сумму довольно просто, но, прежде чем приступать к вычислениям, вы должны определить, включаются ли данные числа в N 1 и N 2 в конечную сумму или нет.
- 2
Чтобы найти сумму целых чисел между двумя числами N 1 and N 2 , отдельно найдите сумму до N 1 , отдельно найдите сумму до N 2 и вычтите их друг из друга (вычтите сумму до меньшего значения N из суммы до большего значения N).
При этом важно знать, суммировать ли включительно или нет. При суммировании включительно вы должны вычесть 1 из данного значения N 1 ; в противном случае вы должны вычесть 1 из данного значения N 2 .
- Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N 1 = 75 до N 2 = 100. Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N 1 -1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N 2 (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N 1):
- (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
- (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
- 5050 - (74(75))/2 =
- 5050 - 5550/2 =
- 5050 - 2775 = 2275. Сумма чисел от 75 до 100 («включительно») равна 2275.
- Теперь найдем сумму чисел без включения данных чисел (другими словами, мы должны найти 76 + 77 + ... + 99). В этом случае мы вычитаем 1 из N 2:
- ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
- (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
- (99(100))/2 - (75(76))/2 =
- 9900/2 - 5700/2 =
- 4950 - 2850 = 2100. Сумма чисел от 75 до 100 (без включения этих чисел) равна 2100.
- Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N 1 = 75 до N 2 = 100. Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N 1 -1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N 2 (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N 1):
- 3
Уясните процесс.
Представьте себе сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Сумма целых чисел от 75 до 100 («включительно») есть вычисление: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сумма чисел от 1 до 75 и сумма чисел от 1 до 100 равны до числа 75, но сумма чисел от 1 до 100 после числа 75 продолжается: … + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким образом, вычитая сумму чисел от 1 до 75 из суммы чисел от 1 до 100 мы «изолируем» сумму целых чисел от 75 до 100.
- Если мы суммируем включительно, мы должны использовать сумму от 1 до 74, а не на сумму от 1 до 75, чтобы включить число 75 в конечную сумму.
- Аналогично, если мы суммируем без включения данных чисел, мы должны использовать сумму от 1 до 99, а не на сумму от 1 до 100, чтобы исключить число 100 из конечной суммы. Мы можем использовать сумму от 1 до 75, так как ее вычитание из суммы от 1 до 99 исключает число 75 из конечной суммы.
- В результате вычисления суммы всегда получается целое число, потому что либо N, либо N +1 – четное число, которое делится на 2 без остатка.
- Сумма = Сумма – Сумма.
- Другими словами: Сумма = n(n+1)/2
Предупреждения
- Хотя распространить этот метод на отрицательные числа не очень сложно, в данной статье рассматриваются только любые положительные целые числа N, где N больше или равно 1.
помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+...+97+98+99+100. и получил лучший ответ
Ответ от Александр Хейнонен[гуру]
Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики» .
Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца.
Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет) , учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам - вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.
Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.
Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Проверьте! Это работает!
Ответ от Ђаня Фертикова
[новичек]
5050
Ответ от Михаил Медведев
[активный]
5050
Ответ от Павел соломенников
[новичек]
5050
Ответ от Алевтина башкова
[новичек]
5050
Ответ от Ђигр Тихомирова
[активный]
5050
Ответ от Мария дубровина
[новичек]
5050
Ответ от Ѐавил Бадиров
[новичек]
5050
Ответ от Дмитрий
[активный]
5050
Ответ от Евгений Саяпов
[активный]
5050
Ответ от 2 ответа [гуру]