Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме
Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида
z = a + bi .
Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.
1. Сумма (разность) комплексных чисел
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,
т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.
2. Произведение комплексных чисел
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,
т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.
3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:
, (z 2 ≠ 0),
т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:
Легко показать, что
Примеры .
1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.
3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.
z = .
4. Решить уравнение: , x и y Î R .
(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
откуда x = –1 , y = 4.
5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .
6. Вычислить , если .
.
7. Вычислить число обратное числу z =3-i .
Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .
Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .
Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.
Из рис. 2 видно, что .
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .
Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то
cosj = , sinj = , tgj = .
Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;
если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;
если z = 0, arg z не определен.
Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,
либо -p £ arg z £ p .
Примеры:
1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.
2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:
1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.
Решения и ответы:
1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.
2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.
3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .
4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .
3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .
1) ; а = 1, b = Þ ,
Þ j 1 = .
2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,
.
Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.
Таким образом: z 1 = .
2) , r 2 = 1, j 2 = , .
3) , r 3 = 1, j 3 = , .
4) , r 4 = 1, j 4 = , .
ЛекцияТригонометрическая форма комплексного числа
План
1.Геометрическое изображение комплексных чисел.
2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.
3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).
Рисунок 1
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Рисунок 2
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).
Рисунок 3
Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).
Рисунок 4
Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .
Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку .
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:
если b > о , то ;
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
§ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел
Пусть комплексному числу а + bi соответствует вектор OA > с координатами (а, b ) (см. рис. 332).
Обозначим длину этого вектора через r , а угол, который он образует с осью х , через φ . По определению синуса и косинуса:
a / r = cos φ , b / r = sin φ .
Поэтому а = r cos φ , b = r sin φ . Но в таком случае комплексное число а + bi можно записать в виде:
а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).
Как известно, квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому r 2 = a 2 + b 2 , откуда r = √a 2 + b 2
Итак, любое комплексное число а + bi можно представить в виде :
а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)
где r = √a 2 + b 2 , а угол φ определяется из условия:
Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической .
Число r в формуле (1) называется модулем , а угол φ - аргументом , комплексного числа а + bi .
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.
Модуль любого комплексного числа определен однозначно.
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π . Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ
0 (cos φ + i sin φ ) = 0.
Поэтому аргумент нуля не определен.
Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z . Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Пример. 1 . 1 + i .
Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Следовательно, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , откуда φ = π / 4 + 2n π .
Таким образом,
1 + i = √ 2 ,
где п - любое целое число. Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2π . В данном случае таким значением является π / 4 . Поэтому
1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)
Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число √ 3 - i . Имеем:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2
Поэтому с точностью до угла, кратного 2π , φ = 11 / 6 π ; следовательно,
√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i sin 11 / 6 π ).
Пример 3 Записать в тригонометрической форме комплексное число i .
Комплексному числу i соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π / 2 . Поэтому
i = cos π / 2 + i sin π / 2 .
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число 3.
Комплексному числу 3 соответствует вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).
Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен 0. Поэтому
3 = 3 (cos 0 + i sin 0),
Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.
Комплексному, числу -5 соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π . Поэтому
5 = 5(cos π + i sin π ).
Упражнения
2047. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлетворяют условиям:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и - r ?
2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы φ и - φ ?
Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20°).
2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15°).
В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы , методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
Где – этомодуль комплексного числа , а –аргумент комплексного числа .
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря,модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любых значений «а» и «бэ».
Примечание : модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа , как расстояния от точки до начала координат.
Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.
Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:
Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна ), аргумент – угол
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Ясно, как день, обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Используя , легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и
аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле:
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Проверка:
4) И четвёртый интересный случай. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов , то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить,
что и– это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид:
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!
В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...» . Это действительно очевидно и легко решается устно.
Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. C модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число. При этом возможны три варианта (их полезно переписать):
1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле.
2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить . Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.
Представляем в комплексной форме числа и, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 2), то
–вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:– числов тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 1), то(минус 60 градусов).
Таким образом:
–число в тригонометрической форме.
А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем .
Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций , при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол(или 300 градусов):– числов исходной алгебраической форме.
Числа ипредставьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.
В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
Где – это модуль комплексного числа, а– аргумент комплексного числа.
Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .
Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:,. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:.
Число в показательной форме будет выглядеть так:
Число – так:
Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .