Определение 13.1. Случайная величина Х называется дискретной , если она принимает конечное либо счётное число значений.
Определение 13.2. Законом распределения случайной величины Х называется совокупность пар чисел ( , ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. = P{X = }, причём =1.
Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
| Х | … | … | |||
| Р | … | … |
Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывается , по оси ординат – вероятность . Точки с координатами ( , ) соединяют отрезками и получают ломаную, называемую многоугольником распределения, который является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины.
Пример 13.3. Построить многоугольник распределения случайной величины Х с рядом распределения
| Х | ||||
| Р | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Определение 13.4. Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биноминальное распределение с параметрами (n,p )если она может принимать целые неотрицательные значения k {1,2,…,n } с вероятностями Р(Х=х )= .
Ряд распределения имеет вид:
| Х | … | k | … | n | ||
| Р | … | … |
Сумма вероятностей = =1.
Определение 13.5. Говорят, что дискретная форма случайной величины Х имеет распределение Пуассона с параметром ( >0),если она принимает целые значения k {0,1,2,…} с вероятностями Р(Х=k )= .
Ряд распределения имеет вид
| Х | … | k | … | ||
| Р | … | … |
Так как разложение в ряд Маклорена имеет следующий вид , тогда сумма вероятностей = = =1.
Обозначим через Х число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А в независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом из них равна p (0< p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями Х являются натуральные числа.
Определение 13.6. Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p (0< p <1), если она принимает натуральные значения k N с вероятностями Р(Х=k)= , где . Ряд распределения:
| Х | … | n | … | |||
| Р | … | … |
Сумма вероятностей = = =1.
Пример 13.7. Монета брошена 2 раза. Составить ряд распределения случайной величины Х числа выпадений «герба».
P 2 (0)= = ; P 2 (1)= = =0,5; P 2 (2)= = .
| Х | |||
| Р |
Ряд распределения примет вид:
Пример 13.8. Из орудия стреляют до первого попадания по цели. Вероятность попадания при одном выстреле 0,6. произойдёт попадание при 3-м выстреле.
Поскольку p =0,6, q =0,4, k =3, тогда Р(А )= =0,4 2 *0,6=0,096.
14 Числовые характеристики дискретных случайных величин
Полностью характеризует случайную величину закон распределения, однако часто он бывает неизвестен, поэтому приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами (параметрами), описывающими случайную величину суммарно. Они называются числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия и др.
Определение 14.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через МХ =М(Х )=ЕХ .
Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то МХ = .
Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то МХ = ,
причём математическое ожидание существует, если ряд сходится абсолютно.
Замечание 14.2. Математическое ожидание некоторое число, приближённо равное определённому значению случайной величины.
Пример 14.3. Найти математическое ожидание случайной величины Х , зная её ряд распределения
| Х | |||
| Р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
МХ =3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.
Пример 14.4. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна p .
Случайная величина Х – число появления события A в одном испытании. Она может принимать значения =1 (A наступило) с вероятностью p и =0 с вероятностью , т.е. ряд распределения
Отсюда МС=С*1=С.
Замечание 14.6. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х Определяется как дискретная случайная величина СХ , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х , вероятности этих значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х .
Свойство 14.7. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ )=С∙МХ .
Если случайная величина Х имеет ряд распределения
| Х | … | … | |||
| Р | … | … |
Ряд распределения случайной величины
| СХ | … | … | |||
| Р | … | … |
М(СХ )= = = С∙М(Х ).
Определение 14.8. Случайные величины , ,…, называются независимыми , если для , i =1,2,…,n
Р{ , ,…, }= Р{ } Р{ }… Р{ } (1)
Если в качестве = , i =1,2,…,n , то получим из (1)
Р{ < , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:
( , ,…, ) = () ()... () (2)
для совместной функции распределения случайных величин , ,…, , которую можно также взять в качестве определения независимости случайной величины.
Свойство 14.9. Математическое ожидание произведения 2-х независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(ХУ )=МХ ∙МУ .
Свойство 14.10. Математическое ожидание суммы 2-х случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
М(Х+У )=МХ +МУ .
Замечание 14.11. Свойства 14.9 и 14.10 можно обобщать на случай нескольких случайных величин.
Пример 14.12. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании 2-х игровых костей.
Пусть Х число очков, выпавших на первой кости, У число очков, выпавших на второй кости. Они имеют одинаковые ряды распределения:
| Х | ||||||
| Р |
Тогда МХ =МУ = (1+2+3+4+5+6)= = . М(Х+У )=2* =7.
Теорема 14.13. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: МХ =np .
Пусть Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. –число появлений события А в i -том испытании, i =1,2,…,n. Тогда = + +…+ . По свойствам математического ожидания МХ = . Из примера 14.4 MX i =p, i =1,2,…,n, отсюда МХ = =np .
Определение 14.14. Дисперсией случайной величины называется число DX =M(X -MX ) 2 .
Определение 14.15. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число =.
Замечание 14.16. Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Она всегда неотрицательна. Для подсчёта дисперсии удобнее пользоваться другой формулой:
DX = M(X - MX ) 2 = M(X 2 - 2X∙ MX + (MX ) 2) = M(X 2) - 2M(X∙ MX ) + M(MX ) 2 = =M(X 2)-MX∙ MX+ (MX ) 2 = M(X 2) - (MX ) 2 .
Отсюда DX = M(X 2) - (MX ) 2 .
Пример 14.17. Найти дисперсию случайной величины Х , Заданной рядом распределения
| X | |||
| P | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
MX =2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M(X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;
DX =13.3-(3,5) 2 =1,05.
Свойства дисперсии
Свойство 14.18. Дисперсия постоянной величины равна 0:
DC = M(С- MС) 2 = M(С- С) 2 =0.
Свойство 14.19. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
D(СX ) =C 2 DX .
D(CХ)=М(С- CMX ) 2 =М(С(X- MX ) 2) = C 2 M(X - MX ) 2 = C 2 DX .
Свойство 14.20. Дисперсия суммы 2-х независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин
D(Х+Y )=DХ +DY .
D(X + У )=М((X + Y ) 2) – (M(X + Y )) 2 = M(X 2 + 2XY + Y 2 ) - (MX + MY ) 2 = =M(X ) 2 +2МХ МY +M(Y 2)-(M(X ) 2 +2МХ МY +M(Y ) 2)= M(X 2)-(MX ) 2 +M(Y 2)- (MY ) 2 = = DX +DY .
Следствие 14.21. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Теорема 14.22. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p) 2 =). Отсюда D +2 ,
Математическое ожидание
Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): 
Задана функция распределения F(x): 
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей 
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть , если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:
Рис. 4.
; 
; 
.
Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.
Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .
Плотность вероятности: 
.
Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:
Задания для самостоятельной работы:
1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);
б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).
2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.
1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:
где – параметр показательного распределения.
Таким образом 
Рис. 5.
Числовые характеристики:
Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.
Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:
; 
Искомая вероятность , где
Окончательно:
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .
2. Случайная величина Х
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .
3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
1.4.3. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:
где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :
, где
– функция Лапласа.
Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности 
называется стандартным.
Рис. 6.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :
.
В частности, при а= 0 справедливо равенство:
Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Решение: .
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).
3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Понятия математического ожидания М (Х ) и дисперсии D (X ), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.
· Математическое ожидание М (Х ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
при условии, что этот интеграл сходится.
· Дисперсия D (X ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
· Среднее квадратическое отклонение σ(Х ) непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.
Задача 5.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (x ):
Найти M (X ), D (X ), σ(Х ), а также P (1 < х < 5).
Решение:
M (X )= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D (X )=
= = /
P 1 =
Задачи
5.1. Х
f (x ), а также
Р (‒1/2 < Х < 1/2).
5.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти дифференциальную функцию распределения f (x ), а также
Р (2π /9 < Х < π /2).
5.3. Непрерывная случайная величина Х
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.5. Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).
5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .
5.7. Функция f (х ) задана в виде:
с Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.8. Функция f (x ) задана в виде:
Найти: а) значение постоянной с , при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.9. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F (х )= Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.
5.10. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F (х )= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.
5.11.
Найти: а) число с ; б) М (Х ); в) вероятность Р (Х > М (Х )).
5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
Найти: а) М (Х ); б) вероятность Р (Х ≤ М (Х )).
5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:
Доказать, что f (x ) действительно является плотностью распределения вероятностей.
5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти число с .
5.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Рис. 5.4 Рис. 5.5
5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Ответы
P (-1/2<X <1/2)=2/3.
P (2π /9<Х < π /2)=1/2.
5.3. а) с =1/6, б) М (Х )=3 , в) D (X )=26/81.
5.4. а) с =3/2, б) М (Х )=3/5, в) D (X )=12/175.
б) M (X )= 3 , D (X )= 2/9, σ(Х )= /3.
б) M (X )=2 , D (X )= 3 , σ(Х )= 1,893.
5.7. а) с = ; б)
5.8. а) с =1/2; б)
5.9. а)1/4; б) 0.
5.10. а)3/5; б) 1.
5.11. а) с = 2; б) М (Х )= 2; в) 1-ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. а) М (Х )= π /2 ; б) 1/2
В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.
Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.
Функция распределения непрерывной случайной величины
Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.
Свойства функции распределения:
1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.
3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.
Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:
$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$
Плотность распределения вероятностей
Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.
Свойства функции $f\left(x\right)$.
1 . $f\left(x\right)\ge 0$.
2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.
3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.
4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.
Пример 2
. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$
Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$
Дисперсия непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$
Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$
Loading...